Tangencias
Las tangencias se producen entre dos circunferencias (fig.1), o entre una recta y una circunferencia (fig.2), cuando únicamente tienen un punto en común. El punto que dos elementos tangentes tienen en común se llama punto de tangencia y se le suele asignar la letra “T”.
Fig.1 - Tangencia entre circunferencias
Fig.2 - Tangencia entre recta y circunferencia
Propiedades fundamentales de las tangencias
1.
Para que dos circunferencias sean tangentes entre sí sus centros tienen que estar alineados con el punto de tangencia. Estas circunferencias tangentes pueden ser exteriores (fig.3) o interiores (fig.4).
Fig.3 - Circunferencias tangentes exteriores
Fig.4 - Circunferencias tangentes interiores
2.
Para que una recta y una circunferencia sean tangentes entre sí el radio de la circunferencia que pasa por el punto de tangencia tiene que ser perpendicular a la recta (fig.5).
Fig.5 - Recta tangente a una circunferencia
3.
Arco capaz. Si unimos los extremos del diámetro de una circunferencia con cualquier punto de dicha circunferencia se forma siempre un ángulo de 90º (fig.6). Esta propiedad nos va resultar muy útil para resolver numerosos ejercicios de tangencias (fig.7)
Fig.6 - Arco capaz de ángulo de 90º
Fig.7 - Aplicación de arco capaz en ejercicio de tangencias
Todas las circunferencias que pasan por dos puntos tienen su centro en la mediatriz del segmento que une estos puntos (fig.8). Esta propiedad es muy útil para realizar ejercicios de enlaces (fig.9).
4.
Fig.8 - Circunferencias que pasan por A y B
Fig.9 - Ejercicio de enlaces
5.
Los centros de las circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan están siempre situados en la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas (fig.10).
Fig.10 - Circunferencias tangentes a 2 rectas que se cortan
Trazado de tangencias
Para organizar los ejercicios de tangencias vamos a distinguir 3 tipos fundamentales:
A la hora de resolver ejercicios de tangencias siempre debéis indicar los puntos de tangencia (T) y los radios desde estos puntos. Si no lo hacéis es muy probable que os penalicen.
1. Trazado de rectas tangentes
1.1. Recta tangente a una circunferencia en un punto de ella
La solución será la recta perpendicular al radio de la circunferencia que pase por el punto dado (2ª propiedad).
1.3. Rectas tangentes a una circunferencia que pasan por un punto exterior
Para hallar los puntos de tangencia combinamos la 2ª propiedad con el teorema del arco capaz
1.5. Rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas
Basándonos tambien en el 1.3. ampliamos el radio de la circunferencia mayor la magnitud del radio menor, reduciendo ésta última a un punto.
1.2. Rectas tangentes a una circunferencia paralelas a una dirección dada
Dibujaremos un diámetro perpendicular a la dirección dada para obtener los puntos de tangencia (2ª propiedad).
1.4. Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas
Ejercicio basado en el 1.3. reduciendo el radio de las circunferencias hasta que la menor sea un punto.
2. Trazado de circunferencias tangentes conocido su radio.
2.1. Circunferencia de radio dado tangente a una recta en un punto de ella
Dibujaremos desde el punto una perpendicular a la recta y situando el radio hallaremos los centros de las circunferencias de las 2 soluciones posibles, una a cada lado (2ª propiedad).
2.2. Circunferencias de radio conocido tangentes a otra dada por un punto
Uniendo centro y punto de tangencia situamos el radio a ambos lados de dicho punto, hallando los centros de las dos circunferencias solución (1ª propiedad).
2.3. Circunferencias de radio dado tangentes a dos rectas que se cortan
Se dibujan las paralelas a las rectas dadas a una distancia igual al radio dado. Donde estas paralelas se cortan entre sí obtendremos los radios de las circunferencias buscadas (2ª propiedad).
2.4. Circunferencia de radio conocido tangente a una recta y a otra circunferencia dadas
Dibujamos una recta y una circunferencia que estén a una distancia de las dadas igual al radio. Donde se corten estará el centro de la solución (1ª y 2ª propiedad).
2.5. Circunferencia de radio conocido tangente exterior e interior a dos dadas
Los centros de las soluciones se deducen sumando y restando el radio de la solución a las circunferencias dadas (1ª propiedad).
2.6. Circunferencia de radio conocido tangente interior a dos circunferencias dadas
Los centros de las soluciones se deducen restando al radio de la solución los otros dos radios de las circunferencias dadas (1ª propiedad).
2.7. Ejercicio de circunferencias tangentes conocidos sus radios (EvAU-2019 Madrid)
Ejercicio de aplicación de tangencias para dibujar una figura a partir de sus cotas.
2.8. Circunferencias de radio conocido tangentes a otras dos circunferencias dadas
Los centros de las soluciones se deducen sumando el radio de la solución al de las circunferencias dadas (1ª propiedad).
2.9. Circunferencias de radio conocido tangentes a otra dada pasando por un punto exterior
Los centros de las coluciones están a una distancia igual al radio de la circunferencia y del punto dados.
3. Trazado de circunferencias tangentes sin conocer su radio.
3.1. Circunferencia de radio dado tangente a una recta en un punto de ella
Dibujaremos desde el punto una perpendicular a la recta y situando el radio hallaremos los centros de las circunferencias de las 2 soluciones posibles, una a cada lado (2ª y 4ª propiedad).
3.2. Circunferencia tangente a una recta y a otra circunferencia en un punto de tangencia dado
La solución de este ejercicio se basa en la 1ª y la 5ª propiedad de las tangencias.
3.3. Circunferencia tangente a una recta en un punto de ella pasando por un punto exterior
Solución basada en las propiedades 2ª y 4ª.
3.5. Circunferencias tangentes a otra pasando por 2 puntos
Este ejercicio se resuelve aplicando conceptos de potencias.
3.4. Circunferencias tangentes a 1 recta que pasan por 2 puntos
Este ejercicio se resuelve aplicando conceptos de potencias.
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